Algo de Fractales

Esta publicación es la continuación de un trabajo universitario sobre las propiedades topológicas del conjunto de Cantor.

Podemos generalizar el proceso de construcción del conjunto de Cantor, teniendo como conjuntos originales objetos de más de una dimensión. 

Un ejemplo de lo que puede obtenerse con objetos bidimensionales es el llamado triángulo de Sierpinski

Fig1 : Triángulo de Sierpinski

Su proceso de construcción es como sigue: inicialmente se tiene una región triangular equilatera de lado 1, utilizando como vértices los puntos medios de cada lado del triángulo original, se traza otro que divide al original en cuatro regiones triangulares de la misma área, se extrae al triángulo central y se repite el proceso con cada uno de los tres triángulos central y se repite el proceso con cada uno de los tres triángulos que permanecen en el conjunto hasta el momento. Si el proceso se itera indefinidamente al final se obtiene el triángulo de Sierpinski. 

El área cubierta por la iteración número $n$ de triángulo de Sierpinski es $A_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n A_0$, donde $A_0$ es el área del triángulo inicial. En el límite, cuando $n$ tiende al infinito, del área cubierta es cero, es decir al igual que el conjunto de Cantor, tiene medida cero, pero posee la potencia del continuo.

Ambos son objetos que tienen tantos puntos como el espacio donde viven pero ninguno de ellos contiene un trozo(disco o intervalo) de ese espacio.

Para carácterizar objetos tan extraños Benoit Mandelbrot invento el concepto de dimensión fractal. La dimensión fractal es una generalización del concepto de dimensión topológica, que siempre es un número cualquier, la dimensión fractal puede ser un número real cualquiera. 

En las distintas etapas sucesivas de construcción del conjunto de Cantor o triángulo de Sierpinski notará que en la etapa $n$ del proceso se ve lo mismo que se vio en la etapa $n - 1$ pero a una escala menor.

El aspecto general del todo se reproduce en cada una de sus partes. Esta propiedad es característica de los objetos fractales y se denomina autosimilitud.

En el caso partícular de objetos autsimilares tan sencillos como el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski, la dimensión fractal es el cociente:

  $$D = \dfrac{\ln{N}}{\ln{\frac{1}{\epsilon}}}$$

Donde $N$ es el número de veces que se reproduce el objeto inicial en la primera generación y $\epsilon$ es la escala a la que se encuentra las dimensiones de las reproducciones.

Se encuentra que el conjunto de Cantor tiene dimensión fractal de $\approx 0.63$ mientras que la del triángulo de Sierpinski es $\approx 1.58$. 

A continuación presentamos tres fractales generados por ordenador con un valor de la dimensión fractal (DF) similar pero con aspecto (textura) claramente distinto. 

Fig 2 : Fractales generados por computador y sus respectivas dimensiones.