Análisis Complejo > Proyección Estereográfica

Tenemos el siguiente conjunto, una superficie esférica centrada en el punto  $(0,0,\frac{1}{2})$ de radio  $\frac{1}{2}$ 

$$\sum = \left \{ (X,Y,Z): X^2 + Y^2 + (Z - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \right \}$$

Ahora consideremos a la superficie esférica menos el punto $N = (0,0,1)$. 

Trazamos un rayo que parte del punto $N$ corta a la esfera en $P=(X,Y,Z)$ de adentro hacia afuera, para luego intersecar al plano $z=0$ en el punto $(x,y,0)$, es decir los puntos $N,P$ y $(x,y,0)$ son colineales.  

Importante:

Dada una sucesión de puntos cualquiera en $\sum - (0,0,1)$ convergente a $(0,0,1)$, esto es $${(X_n,Y_n,Z_n)} \rightarrow N $$

El módulo de la proyección estereográfica de esos puntos forma una sucesión que diverge al infinito. 

$$|{(x_n,y_n)}| \rightarrow \infty$$

Al punto $N$ se le denomina punto del infinito. 

el plano $z=0$ coincide con el plano $\mathbb{C}$. 

Existe otra construcción, y es la más usual, se basa en definir número complejo como un par ordenado $(a,b)$, luego se definen dos operaciones binarias (suma y producto)
$$(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) \\
(a,b).(c,d) = (ac - bd,bc + ad)$$